Invers Matriks 2

PERKALIAN MATRIK ELEMENTER

(1). Matrik elementer adalah matrik yang diperoleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matrik identitas.

(2). Setiap matrik elementer mempunyai invers, dan setiap matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalen baris terhadap matrik identitas I.

(3). Akibatnya, jika :

       EkEk–1Ek–2 …E2E1A = I, maka,

         A–1 = EkEk–1Ek–2 …E2E1

Matrik elementer E diperoleh dari transformasi matrik identitas dimana pada kolom ke-I diganti dengan normalitas vektor kolom :

CONTOH

Hitung invers matrik A

Menghitung E2

Menghitung E3 dan Invers Matrik

Menghitung E2

Menghitung E3

Menghitung E4 dan Invers Matrik

INVERS : PARTISI MATRIK (1)

Partisi matrik A yang berordo (mxn) adalah sub matrik-sub matrik yang diperoleh dari A dengan cara memberikan batasan-batasan garis horisontal diantara dua baris dan  atau memberikan batasan-batasan garis vertikal diantara dua kolom.

Partisi Matrik A adalah :

INVERS : PARTISI MATRIK (2)

Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers, yaitu : A–1 = B, dan partisinya masing-masing adalah :

Dari perkalian matrik diperoleh hasil :

(1). A11 B11 + A12 B21 = I

(2). A11 B12 + A12 B22 = 0

(3). B21 A11 + B22 A21 = 0

(4). B21 A12 + B22 A22 = I

Dengan asumsi, A11–1 ada, dan

                          B22 = L–1 ada

Maka rumus untuk menghitung inver matriknya adalah :

(1). B12 = –(A 11–1 A12)L–1

(2). B21 = – L–1(A21 A11–1)

(3). B11 = A11–1+(A11–1A12)L–1(A21 A11–1)

(4). L = A22 – (A21A11–1A12)

Invers Matriks

PENGERTIAN INVERS MATRIK

Matrik bujur sangkar A dikatakan mempunyai invers,jika terdapat matrik 

sedemikian rupa. Invers Matriks Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya 

jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) 

dan matriks tersebut non-singular (determinan 0).

sehingga :

AB = BA = I

  dimana I matrik identitas

*.B dikatakan invers matrik A ditulis A–1, maka, AA–1 = A–1A = I

*.A dikatakan invers matrik B ditulis B–1, maka, B–1B= BB–1 = I

Contoh ; AB = BA = I

Teknik Menghitung Invers

—Metode Adjoint matrik

—Metode operasi elementer baris

—Metode Perkalian Invers Matrik Elementer

—Metode partisi matrik

—Program Komputer – MATCADS, MATLAB

—WS OFICE EXCELL

Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn), Cij=(-1)i+j Mij kofaktor 

elemen matrik aij, dan andaikan pula det(A)≠0 maka A mempunyai 

invers yaitu :

Kasus, n = 3

Kasus, n = 4

CONTOH :

Hitunglah invers matrik berikut ini :

*.Ekspansi baris -1 :

det(a)=M11-2M12+3M13-4M14

 =-10 – 2(5) + 3(9) – 4(2)= –1 

*.Ekspansi baris-2 :

det(A)=-2M21+3M22-5M23+5M24

      =-2(-6) –3(4) + 5(-6) –5(-1)= –1

*.Ekspansi baris-3 :

det(A)=3M31-5M32+7M33-4M34

      =3(-8) –5(3) + 7(6) –4(1)= –1

*.Ekspansi baris-4 :

det(A)=-3M41+6M42-8M43+6M44

      =-3(-7) +6(2) - 8(5) + 6(1)= –1 

INVERS : OPERASI ELEMENTER BARIS 

Operasi Elementer baris yang digunakan adalah :

(1). Hj ß kHj

(2). Hj ß Hi

(3). Hj ß Hj + kHj

Langkah-langkah sebagai berikut :

(1). Bentuk matrik lengkap [A,I]

(2). Dengan serangkain operasi elelemter baris reduksilah [A,I] menjadi matrik berbentuk  [I,B]

(3). A–1 = B 

DETERMINAN 3

DEKOMPOSISI : METODE CROUT

    Metode crout mendekomposisi suatu matriks untuk memperoleh elemen diagonal utama matriks segitiga atas (U) bernilai satu atau elemen lainnya bernilai bebas.

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah :

Kasus n=3

Rumus perhitungannya :

CONTOH :

Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi !

KASUS n=4 : METODE CROUT

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

CONTOH :

Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi :

DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE

  Metode Doolittle merupakan sebuah algoritma faktorisasi LU yang mensyaratkan elemen-elemen pada diagonal utama matriks L bernilai 1 

  Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah :

Kasus n=3

Rumus perhitungannya :

KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE

Rumus iterasi perhitungannya adalah :