Transformasi Linear

TRANSFORMASI LINEAR 
  
 Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan 
sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor  di dalam V, maka kita mengatakan F 
memetakan V ke dalam W, dan kita menuliskan  F : V → W.  Lebih lanjut lagi, jika F 
mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita menuliskan  w = F(v) dan kita mengatakan 
bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. 
 Untuk melukiskannya, maka jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di dalam R2 , maka rumus 
: 
         F(v) = ( x , x + y , x - y ) 
mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan   R2  ke dalam    R3 .   
Khususnya, jika v = (1,1) , maka x = 1 dan y = 1 , sehingga bayangan dari v di bawah F  adalah    
F(v) = (1, 2, 0). 
Definisi.  
 Jika F : V → W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F 
dinamakan transformasi linear jika : 
(i)  F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V. 
(ii)  F(ku) =  k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k. 
 Untuk melukiskannya, misalkan  F : R2 → R3  adalah fungsi yang didefinisikan oleh  


Jika u = ( x1 , y1 ) dan v = ( x2 , y2 ), maka u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ), sehingga  : 
F(u + v) = (x1 +x2 , [x1 + x2] + [y1 + y2], [x1 + x2] - [y1 + y2])  
                                      = ( x1 , x1 + y1 , x1 - y1 ) + ( x2 , x2 + y2 ,x2 - y2) 
F(u + v) = F(u) + F(v) 
Juga , jika k adalah sebuah skalar , k u = (kx1 , ky1 ), sehingga 
  F(k u) = (kx1 , kx1 +ky1 , kx1 - ky1) 
             =  k (x1 , x1 +y1 ,x1 - y1) 
             =  k  F(u) 
Jadi F adalah sebuah transformasi linear. 
Jika F : V → W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1 dan v2 di dalam V dan 
sebarang  k1 dan k2  , kita memperoleh :    
              F(k1 v1 + k2 v2) = F(k1 v1) + F(k2 v2) = k1 F(v1) + k2 F(v2) 
Demikian juga, jika v1 , v2 , … , vn  adalah vektor-vektor di dalam V dan k1 , k2 , … , kn  
adalah skalar, maka : 
             F(k1 v1 + k2 v2 + … + kn vn) = k1 F(v1) + k2 F(v2) + … + kn F(vn)   

Contoh yang merupakan Transformasi Linear :

Diketahui F : R³ ➝ R² , tentukan apakah F(x,y,z) = (2x+y , 5y+z) merupakan Transformasi Linear?

Jawab:
Misal u,v,w ∈ R³
u = (x₁,y₁,z₁)
v = (x₂,y₂,z₂)
k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)

Ruas Kiri
F(u+v) = F( (x₁,y₁,z₁) + (x₂,y₂,z₂) )
           = F( x₁+x₂ , y₁+y₂ , z₁+z₂ )
           = 2(x₁+x₂) + (y₁+y₂) , 5(y₁+y₂) + (z₁+z₂)
           = 2x₁ + y₁ + 2x₂ + y₂ , 5y₁ + z₁ + 5y₂ + z₂
           = (2x₁ + y₁ , 5y₁ + z₁) + (2x₂ + y₂ , 5y₂ + z₂)
           = F(u) + F(v)
(Memenuhi Aksioma 1)

2) F(ku) = k.F(u)

F(ku) = F( k(x₁,y₁,z₁) )
         = F(kx₁,ky₁,kz₁)
         = ( 2kx₁+ky₁ , 5ky₁+kz₁ )
         = k (2x₁+y₁ , 5y₁+z₁ )
         = k.F(u)
(Memenuhi Aksioma 2)

∴ Jadi F merupakan Transformasi Linear.

Basis Ruang Kolom 2

Basis Ruang Kolom

Misal terdapat matriks A seperti berikut

Dari kolom matriks diatas maka dapat dibentuk vektor-vektor kolom A

CONTOH

misalkan 

Maka vektor-vektor kolom dari A ialah 

 

dan berikut adalah cara mencari basis ruang kolom

Sub ruang yang terdiri dari vektor-vektor kolom.

Contoh Soal :

Basis Ruang & Dimensi 1

Basis

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

§ S bebas linier

 S membangun V 

Dimensi

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor  V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.

Contoh 1 :

Misalkan, B={i,j,k} dengan i=[1,0,0], j=[0,1,0], dan k=[0,0,1]. B adalah basis baku untuk R3. Karena banyaknya vektor yang membentuk basis B adalah 3, maka R3 berdimensi tiga. 

Contoh 2 :

Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2]T, u2=[2,1,2]T dan u3=[1,3,3]T. Apakah S basis untuk R3.

Jawab

Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk kombinasi linier :

     k1u1 + k2u2 + k3u3 = x

     k1 [1,2,1]T + k2[2,1,2]T + k3 [1,3,4]T = [x1,x2,x3]T

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier

Karena solusi SPL adalah tunggal, jadi S adalh basis untuk R3.

Misal terdapat matriks A  

Dari baris matriks diatas maka dapat dibentuk vektor-vektor baris A

R1 = (a11, a12, ..., a1j)

R2 = (a21, a22, ..., a2j)

Rj = (ai1, ai2, ...,aij)

misalkan 

Maka vektor-vektor baris dari A ialah R1 = (1,2,7) dan R2 = (1,3,0) 

 dan berikut adalah cara mencari basis ruang baris

{K1(1,2,7) + K2 (1,3,0) | k1, k2 ∈ R}

Kebebasan Linear

Himpunan bebas linear yang membangun suatu ruang vektor merupakan basis dari ruang vektor tersebut.

Andaikan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

                k1u1 + k2u2 + … + knun = 0

penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier. 

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, u1=[2,-1,3]T, u2=[1,2,-6]T, u3=[10,5,-15]T adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3.

Coba perhatikan ruang vektor $\mathbb{R}^2$ yang dapat digambarkan dalam sistem koordinat XY. Setiap vektor di $\mathbb{R}^2$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor satuan $\vec{i}=(1,0)$ dan $\vec{j}=(0,1)$ dengan tepat satu cara. Sebagai contoh, vektor $(4,3)$ dapat dinyatakan sebagai$\begin{aligned} (4,3)&= (4,0)+(0,3) \\ &= 4(1,0)+3(0,1) \\ &= 4 \vec{i}+3 \vec{j} \end{aligned}$

Nah, apa yang akan terjadi jika kita menambahkan sebuah sumbu pada sistem koordinat tersebut? Misalnya kita menambahkan sumbu w yang membentuk sudut $45^{\circ}$ terhadap sumbu x. Salah satu vektor yang berada pada sumbu w adalah $\vec{u}=(2,2)$. Vektor satuan pada sumbu w dapat ditentukan dengan membagi vektor $\vec{u}$ dengan panjangnya, yaitu $2\sqrt{2}$.

$$\vec{v}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(2,2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$

Sebelumnya, kita telah menyatakan $(4,3)$ sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ dan $\vec{j}$ secara tunggal. Namun, jika kita melibatkan vektor satuan $\vec{v}$, terdapat tak berhingga cara untuk menyatakan $(4,3)$ sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$, $\vec{j}$, dan $\vec{v}$. Beberapa di antaranya adalah$\begin{aligned} (4,3) &= 4(1,0) + 3(0,1) + 0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\vec{i}+3\vec{j}+0\vec{v} \\ (4,3) &= 3(1,0) + 2(0,1) + \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 3\vec{i}+2\vec{j}+\sqrt{2}\vec{v} \\ (4,3) &= 5(1,0) + 4(0,1)-\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 5\vec{i}+4\vec{j}-\sqrt{2}\vec{v} \end{aligned}$

Dengan menambahkan satu sumbu, kita memperoleh banyak koordinat untuk sebuah vektor pada $\mathbb{R}^2$. Ternyata, ini terjadi karena $\vec{v}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ dan $\vec{j}$, yaitu$\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{2}} \vec{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{j}$

Misalkan $(c,d,e)$ merupakan koordinat dari $(4,3) \in \mathbb{R}^2$ pada sistem koordinat dengan tiga sumbu tersebut.$\begin{aligned} (4,3) &= c\vec{i} + d\vec{j} + e \vec{v} \\ &= c\vec{i} + d\vec{j} + e \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{j} \right) \\ &= c\vec{i} + d\vec{j} + \frac{e}{\sqrt{2}} \vec{i} + \frac{e}{\sqrt{2}} \vec{j} \\ &= \left( c + \frac{e}{\sqrt{2}} \right) \vec{i} + \left( d + \frac{e}{\sqrt{2}} \right) \vec{j} \end{aligned}$

Karena $(4,3)=4\vec{i}+3\vec{j}$, maka haruslah$\begin{aligned} &c + \frac{e}{\sqrt{2}} = 4 \\ &d + \frac{e}{\sqrt{2}} = 3 \end{aligned}$Mudah diperiksa bahwa sistem persamaan ini mempunyai tak berhingga solusi. Setiap solusi $(c,d,e)$ dari sistem persamaan merupakan koordinat $(4,3)$ pada sistem koordinat dengan tiga sumbu di atas. Tentu kita berusaha menghindari hal semacam ini. Nah, dari sini, kita mendefinisikan himpunan bebas linear dan bergantung linear.

CONTOH :

Diketahui $\vec{v_1}=(1,1,2)$, $\vec{v_2}=(1,0,1)$, dan $\vec{v_3}=(2,1,3)$. Periksa apakah $S=\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}$ merupakan himpunan vektor di $\mathbb{R}^3$ yang bebas linear.

Pembahasan

Untuk menentukan apakah himpunan S bebas linear atau tidak, kita perlu mengecek apakah$k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2} + k_3 \vec{v_3} = \vec{0}$hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$. Perhatikan bahwa$\begin{aligned} k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2} + k_3 \vec{v_3} &= \vec{0} \\ k_1 (1,1,2) + k_2 (1,0,1) + k_3 (2,1,3) &= (0,0,0) \\ (k_1,k_1,2k_1) + (k_2,0,k_2) + (2k_3,k_3,3k_3) &= (0,0,0) \\ (k_1 + k_2 + 2k_3, k_1 + k_3,2k_1 + k_2 + 3k_3) &= (0,0,0) \end{aligned}$

Berdasarkan kesamaan vektor pada $\mathbb{R}^3$, diperoleh$\begin{aligned} k_1 + k_2 + 2k_3 &= 0 \\ k_1 + k_3 &= 0  \quad \quad \text{(1)} \\ 2k_1 + k_2 + 3k_3 &= 0 \end{aligned}$

Untuk menentukan apakah sistem persamaan linear $\text{(1)}$ hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$, kita dapat menggunakan beberapa cara. Jika matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat memanfaatkan nilai determinannya. Jika determinan dari matriks tersebut tidak nol, maka sistem persamaan $\text{(1)}$ hanya mempunyai solusi trivial ($k_1=k_2=k_3=0$), yang berakibat himpunan tersebut bebas linear. Sebaliknya, jika determinannya bernilai nol, maka sistem persamaan $\text{(1)}$ memiliki solusi non trivial ($k_1$, $k_2$, dan $k_3$ tidak semuanya bernilai nol), yang berarti himpunan tersebut bergantung linear. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persaman tersebut, misalnya menggunakan eliminasi Gauss.

Karena matriks koefisien dari sistem persamaan $\text{(1)}$ merupakan matriks persegi, maka kita bisa menentukan apakah S bebas linear dengan melihat nilai determinannya. Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah$A= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\end{array} \right]$

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.$\begin{aligned} \text{det}(A) &= 1 \cdot 0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 1 \cdot 1 \\ &= 0 + 2 + 2-0-1-3 \\ &= 0 \end{aligned}$Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S bergantung linear.

Alternatif

Kita akan menentukan solusi dari sistem persamaan $\text{(1)}$. Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah$\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end{array} \right]$

Kita akan mengubah matriks di atas ke dalam bentuk eselon baris. Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua, dan (-2) kali baris pertama ke baris ketiga.$\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{array} \right]$Kalikan baris kedua dengan (-1).$\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{array} \right]$Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.$\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$Diperoleh$\begin{aligned} k_1 + k_2 + 2k_3 &= 0 \\ k_2 + k_3 &= 0 \end{aligned}$yang dapat ditulis sebagai$\begin{aligned} k_1 &= -k_2-2k_3 \\ k_2 &= -k_3 \end{aligned}$

Solusi sistem persamaan di atas adalah$\begin{aligned} k_3 &= t \\ k_2 &= -k_3 = -t \\ k_1 &= -k_2-2k_3 = -(-t)-2t=-t \end{aligned}$dengan t merupakan parameter.

Sistem persamaan tersebut memiliki solusi non trivial, misalnya $k_1=-1$, $k_2=-1$, dan $k_3=1$ (untuk $t=1$). Dengan demikian, himpunan S bergantung linear.