Transformasi Linear

TRANSFORMASI LINEAR 
  
 Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan 
sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor  di dalam V, maka kita mengatakan F 
memetakan V ke dalam W, dan kita menuliskan  F : V → W.  Lebih lanjut lagi, jika F 
mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita menuliskan  w = F(v) dan kita mengatakan 
bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. 
 Untuk melukiskannya, maka jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di dalam R2 , maka rumus 
: 
         F(v) = ( x , x + y , x - y ) 
mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan   R2  ke dalam    R3 .   
Khususnya, jika v = (1,1) , maka x = 1 dan y = 1 , sehingga bayangan dari v di bawah F  adalah    
F(v) = (1, 2, 0). 
Definisi.  
 Jika F : V → W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F 
dinamakan transformasi linear jika : 
(i)  F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V. 
(ii)  F(ku) =  k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k. 
 Untuk melukiskannya, misalkan  F : R2 → R3  adalah fungsi yang didefinisikan oleh  


Jika u = ( x1 , y1 ) dan v = ( x2 , y2 ), maka u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ), sehingga  : 
F(u + v) = (x1 +x2 , [x1 + x2] + [y1 + y2], [x1 + x2] - [y1 + y2])  
                                      = ( x1 , x1 + y1 , x1 - y1 ) + ( x2 , x2 + y2 ,x2 - y2) 
F(u + v) = F(u) + F(v) 
Juga , jika k adalah sebuah skalar , k u = (kx1 , ky1 ), sehingga 
  F(k u) = (kx1 , kx1 +ky1 , kx1 - ky1) 
             =  k (x1 , x1 +y1 ,x1 - y1) 
             =  k  F(u) 
Jadi F adalah sebuah transformasi linear. 
Jika F : V → W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1 dan v2 di dalam V dan 
sebarang  k1 dan k2  , kita memperoleh :    
              F(k1 v1 + k2 v2) = F(k1 v1) + F(k2 v2) = k1 F(v1) + k2 F(v2) 
Demikian juga, jika v1 , v2 , … , vn  adalah vektor-vektor di dalam V dan k1 , k2 , … , kn  
adalah skalar, maka : 
             F(k1 v1 + k2 v2 + … + kn vn) = k1 F(v1) + k2 F(v2) + … + kn F(vn)   

Contoh yang merupakan Transformasi Linear :

Diketahui F : R³ ➝ R² , tentukan apakah F(x,y,z) = (2x+y , 5y+z) merupakan Transformasi Linear?

Jawab:
Misal u,v,w ∈ R³
u = (x₁,y₁,z₁)
v = (x₂,y₂,z₂)
k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)

Ruas Kiri
F(u+v) = F( (x₁,y₁,z₁) + (x₂,y₂,z₂) )
           = F( x₁+x₂ , y₁+y₂ , z₁+z₂ )
           = 2(x₁+x₂) + (y₁+y₂) , 5(y₁+y₂) + (z₁+z₂)
           = 2x₁ + y₁ + 2x₂ + y₂ , 5y₁ + z₁ + 5y₂ + z₂
           = (2x₁ + y₁ , 5y₁ + z₁) + (2x₂ + y₂ , 5y₂ + z₂)
           = F(u) + F(v)
(Memenuhi Aksioma 1)

2) F(ku) = k.F(u)

F(ku) = F( k(x₁,y₁,z₁) )
         = F(kx₁,ky₁,kz₁)
         = ( 2kx₁+ky₁ , 5ky₁+kz₁ )
         = k (2x₁+y₁ , 5y₁+z₁ )
         = k.F(u)
(Memenuhi Aksioma 2)

∴ Jadi F merupakan Transformasi Linear.