SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)

PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan n variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3…., xn yang dinyatakan dalam bentuk :

dimana a1,a2, …, an dan b adalah kontanta real (kompleks). Persamaan linier secara geometri dengan istilah garis.

Contoh

Persamaan linier :

(1).  2x1 + 4x2 = 10

(2).  2x1 – 4x2 + 3x3 + 4x4 = 5

Secara umum, sistem persamaan linier adalah suatu susunan yang terdiri dari m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui yang berbentuk :

dimana x1, x2, …, xn disebut variabel yang tidak diketahui, aij konstanta koefisien sistem persamaan linier dan bj konstanta yang diketahui

Bentuk Matrik SPL

Dalam bentuk matrik SPL dituliskan menjadi,

                  AX=B

atau,  

SPL, AX=B diklasifikasikan menjadi :

(a). SPL homogen, jika koefisien matrik B=0

(b). SPL non homogen, jika terdapat koefisien matrik B tak nol

KONSISTENSI SPL

Perhatikanlah contoh berikut

Kasus 1. SPL berbentuk

               x + 2y = 10

               x – y = 4

Dalam bentuk grafik solusinya adalah

SPL konsisten, solusi tunggal,x=6,y=2

Kausus 2. SPL berbentuk :

                 x + 2y = 4

                2x+ 4y = 8 

SPL konsisten, solusi memuat parameter, yaitu y=t dan x=4 – 2t

Kasus 3. SPL benbentuk :

               x + 2y = 4

               x + 2y = 8

Dalam grafik adalah :

SPL tidak konsisten, tidak ada solusi

METODE ELIMINASI GOUSS

OPERASI ELEMENTER BARIS :

(1). Hi ß k Hi :

       Kalikan sembarang baris ke-I dengan konstanta tak nol k

(2). Hi ß Hj

       Tukarkanlah semua elemen baris ke-i dengan baris ke-j

(3). Hi ß Hi + kHj

   Kalikanlah baris ke-j dengan konstanta tak nol k, dan hasilnya jumlahlan pada baris ke-I

RANK MATRIK

Rank matrik berukuran (mxn) ditulis r(A) adalah banyaknya jumlah baris tak nol dari matrik eselon baris tereduksi.

MATRIK ESELON BARIS

Matrik eselon baris tereduksi adalah matrik yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :

(1). Jika suatu baris yang elemenya tak nol nol, bilangan pertama pada baris tersebut 1 (–1) utama : pivot

(2). Jika terdapat baris semua elemen adalah 0, baris spt itu tempatkan pada bagian bawah matrik

(3). Jika terdapat 2 baris yang berurutan, 1 utama baris yang lebih rendah terletak jauh kekanan dari pada 1 utama baris yang lebih tingggi.

(4). Setiap kolom yang memuat 1 utama, mempunyai 0 did tempat baris yang lebih rendah

CONTOH : Tentukaan matrik eselon matrik berikut ini ?

Andaikan diberikan SPL dengan m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui, x1, x2,…,xn yaitu :

           AX = B

Langkah-langkah menentukan konsitensi dan solusi SPL non homogen adalah sbb :

(1). Bentuk matrik lengkap [A,B]

(2). Reduksilah matrik lengkap [AB] menjadi matrik eselon baris tereduksi, E[AB] dengan menggunakan serangkaian operasi elementer baris

(3). Dari E[AB], hitunglah rank matrik, r(A) dan r(AB), dengan cara menghitung jumlah baris tak nolnya.

(4). Konsistensi SPL

      (a). Jika r(A)=r(AB)=n, maka SPL konsisten solusi tunggal

      (b). Jika r(A)=r(AB)=r < n, maka SPL konsisten solusi memuat parameter

      (c). Jika r(A)¹r(AB), maka SPL tidak konsisten/tidak ada solusi

(5). Solusi SPL

      (a). Jika SPL konsisten, susunan SPL dari matrik eselon

       (b). Tentukan solusi SPL dengan cara eliminasi berulang dari xn ke x1

CONTOH : TIDAK KONSISTEN

Tentukanlah solusi SPL jika ada :

Analisis

(1). Jumlah baris tak nol A = 2, sehingga r(A) = 2

(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3, sehingga, r(A,B)=3

(3). Karena r(A)¹r(A,B), maka SPL tidak konsisten, atau SPL tidak ada solusi