Basis Ruang & Dimensi 1

Basis

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

§ S bebas linier

 S membangun V 

Dimensi

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor  V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.

Contoh 1 :

Misalkan, B={i,j,k} dengan i=[1,0,0], j=[0,1,0], dan k=[0,0,1]. B adalah basis baku untuk R3. Karena banyaknya vektor yang membentuk basis B adalah 3, maka R3 berdimensi tiga. 

Contoh 2 :

Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2]T, u2=[2,1,2]T dan u3=[1,3,3]T. Apakah S basis untuk R3.

Jawab

Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk kombinasi linier :

     k1u1 + k2u2 + k3u3 = x

     k1 [1,2,1]T + k2[2,1,2]T + k3 [1,3,4]T = [x1,x2,x3]T

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier

Karena solusi SPL adalah tunggal, jadi S adalh basis untuk R3.

Misal terdapat matriks A  

Dari baris matriks diatas maka dapat dibentuk vektor-vektor baris A

R1 = (a11, a12, ..., a1j)

R2 = (a21, a22, ..., a2j)

Rj = (ai1, ai2, ...,aij)

misalkan 

Maka vektor-vektor baris dari A ialah R1 = (1,2,7) dan R2 = (1,3,0) 

 dan berikut adalah cara mencari basis ruang baris

{K1(1,2,7) + K2 (1,3,0) | k1, k2 ∈ R}