Nilai Eigen

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol l sedemikian rupa sehingga,

                            Ax = lx

l disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan l.

Contoh :

Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :

Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)

Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = lx sebagai,

                                   Ax = lIx

                         (lI – A)x = 0

Agar supaya l menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah :

Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)

Persamaan terakhir adalah polinomial l berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A (akar-akar polinomial dalam l).

Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah :

(1) Bentuk matrik (lI – A)

(2) Hitung determinan, det(lI – A)=0

(3) Tentukan persamaan karakteristik dari, (lI – A) = 0

(4) Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)

(5) Hitung vektor eigen dari SPL, (lI – A)x=0

Contoh

  Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari : 

Jawab

Bentuk, lI – A yaitu :

Persamaan karakteristiknya adalah :

    det(lI – A) = l2 – 2l – 8 = 0  

Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah : l1 = 4, dan l2 = –2, dan inilah nilai eigen matrik A.

Vektor eigen x dari A diperoleh dari :

Jadi vektor eigen untuk l = 4, adalah x = [5,1]. Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian

dengan l = –2 adalah, x = [1,–1].