SPL 2 : Metode Cramer,Invers,& Dekomposisi

METODE CRAMMER

Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,

Andaikan determinan matrik A tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu

dimana Di = det(Ai) determinan matrik  berordo (nxn) yang diperoleh dari A dengan cara mengganti kolom ke-i dengan koefisien matrik B

CONTOH :

Carilah solusi SPL berikut dengan metode Crammer :

Carilah solusi SPL berikut dengan metode Crammer :

METODE INVERS

Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,

Andaikan, A–1 maka SPL, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu :

           X = A–1B

CONTOH :

METODE DEKOMPOSISI 

Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,

Andaikan, A dapat didekomposisi menjadi matrik segitiga atas L dan segituga bawah U,akibatnya SPL AX=B dapat ditulis menjadi :

           LUX = B

atau,

             L Y= B

             UX = Y

Langkah-langkah menentukan solusi SPL non homogen, dengan metode dekomposisi matrik adalah :

(1). Tentukan dekomposisi matrik A, menjadi  A=LU, dengan metode Crout, Doolite, Cholesky).

(2). Tentukanlah nilai Y dari persamaan :

             LY=B,

       dengan eliminasi maju

            (y1, y2, y3, …,yn)

(3). Tentukanlah nilai X yang merupakan solusi SPL non homogen, dari persamaan

             UX=Y

   dengan eliminasi mundur

            (xn, xn-1, …,x2,x1).

CONTOH :

Carilah solusi SPL berikut dengan metode Dekomposisi :

Dari SPL diperoleh

2y1 = 16                          ày1=8

2y1 + y2=10                    à y2=–6

3y1+0.5y2 – y3 = 12        ày3=9

4y1 +0y2 – 4y3 – 4y4=24 à y4= –7  

Jawab :

Mengingat, dekomposisi A

Dari SPL diperoleh :

x4 = –7

x3 + 0.5 x4 =9                   à x3=12.5

x2 – x3 – x4 = –6               à x2 = –0.5

x1+1.5x2 + 2.5x3 +2x4= 8 à x1= –8.5