Kebebasan Linear

Himpunan bebas linear yang membangun suatu ruang vektor merupakan basis dari ruang vektor tersebut.

Andaikan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

                k1u1 + k2u2 + … + knun = 0

penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier. 

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, u1=[2,-1,3]T, u2=[1,2,-6]T, u3=[10,5,-15]T adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3.

Coba perhatikan ruang vektor $\mathbb{R}^2$ yang dapat digambarkan dalam sistem koordinat XY. Setiap vektor di $\mathbb{R}^2$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor satuan $\vec{i}=(1,0)$ dan $\vec{j}=(0,1)$ dengan tepat satu cara. Sebagai contoh, vektor $(4,3)$ dapat dinyatakan sebagai$\begin{aligned} (4,3)&= (4,0)+(0,3) \\ &= 4(1,0)+3(0,1) \\ &= 4 \vec{i}+3 \vec{j} \end{aligned}$

Nah, apa yang akan terjadi jika kita menambahkan sebuah sumbu pada sistem koordinat tersebut? Misalnya kita menambahkan sumbu w yang membentuk sudut $45^{\circ}$ terhadap sumbu x. Salah satu vektor yang berada pada sumbu w adalah $\vec{u}=(2,2)$. Vektor satuan pada sumbu w dapat ditentukan dengan membagi vektor $\vec{u}$ dengan panjangnya, yaitu $2\sqrt{2}$.

$$\vec{v}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(2,2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$

Sebelumnya, kita telah menyatakan $(4,3)$ sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ dan $\vec{j}$ secara tunggal. Namun, jika kita melibatkan vektor satuan $\vec{v}$, terdapat tak berhingga cara untuk menyatakan $(4,3)$ sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$, $\vec{j}$, dan $\vec{v}$. Beberapa di antaranya adalah$\begin{aligned} (4,3) &= 4(1,0) + 3(0,1) + 0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\vec{i}+3\vec{j}+0\vec{v} \\ (4,3) &= 3(1,0) + 2(0,1) + \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 3\vec{i}+2\vec{j}+\sqrt{2}\vec{v} \\ (4,3) &= 5(1,0) + 4(0,1)-\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 5\vec{i}+4\vec{j}-\sqrt{2}\vec{v} \end{aligned}$

Dengan menambahkan satu sumbu, kita memperoleh banyak koordinat untuk sebuah vektor pada $\mathbb{R}^2$. Ternyata, ini terjadi karena $\vec{v}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ dan $\vec{j}$, yaitu$\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{2}} \vec{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{j}$

Misalkan $(c,d,e)$ merupakan koordinat dari $(4,3) \in \mathbb{R}^2$ pada sistem koordinat dengan tiga sumbu tersebut.$\begin{aligned} (4,3) &= c\vec{i} + d\vec{j} + e \vec{v} \\ &= c\vec{i} + d\vec{j} + e \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{j} \right) \\ &= c\vec{i} + d\vec{j} + \frac{e}{\sqrt{2}} \vec{i} + \frac{e}{\sqrt{2}} \vec{j} \\ &= \left( c + \frac{e}{\sqrt{2}} \right) \vec{i} + \left( d + \frac{e}{\sqrt{2}} \right) \vec{j} \end{aligned}$

Karena $(4,3)=4\vec{i}+3\vec{j}$, maka haruslah$\begin{aligned} &c + \frac{e}{\sqrt{2}} = 4 \\ &d + \frac{e}{\sqrt{2}} = 3 \end{aligned}$Mudah diperiksa bahwa sistem persamaan ini mempunyai tak berhingga solusi. Setiap solusi $(c,d,e)$ dari sistem persamaan merupakan koordinat $(4,3)$ pada sistem koordinat dengan tiga sumbu di atas. Tentu kita berusaha menghindari hal semacam ini. Nah, dari sini, kita mendefinisikan himpunan bebas linear dan bergantung linear.

CONTOH :

Diketahui $\vec{v_1}=(1,1,2)$, $\vec{v_2}=(1,0,1)$, dan $\vec{v_3}=(2,1,3)$. Periksa apakah $S=\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}$ merupakan himpunan vektor di $\mathbb{R}^3$ yang bebas linear.

Pembahasan

Untuk menentukan apakah himpunan S bebas linear atau tidak, kita perlu mengecek apakah$k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2} + k_3 \vec{v_3} = \vec{0}$hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$. Perhatikan bahwa$\begin{aligned} k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2} + k_3 \vec{v_3} &= \vec{0} \\ k_1 (1,1,2) + k_2 (1,0,1) + k_3 (2,1,3) &= (0,0,0) \\ (k_1,k_1,2k_1) + (k_2,0,k_2) + (2k_3,k_3,3k_3) &= (0,0,0) \\ (k_1 + k_2 + 2k_3, k_1 + k_3,2k_1 + k_2 + 3k_3) &= (0,0,0) \end{aligned}$

Berdasarkan kesamaan vektor pada $\mathbb{R}^3$, diperoleh$\begin{aligned} k_1 + k_2 + 2k_3 &= 0 \\ k_1 + k_3 &= 0  \quad \quad \text{(1)} \\ 2k_1 + k_2 + 3k_3 &= 0 \end{aligned}$

Untuk menentukan apakah sistem persamaan linear $\text{(1)}$ hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$, kita dapat menggunakan beberapa cara. Jika matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat memanfaatkan nilai determinannya. Jika determinan dari matriks tersebut tidak nol, maka sistem persamaan $\text{(1)}$ hanya mempunyai solusi trivial ($k_1=k_2=k_3=0$), yang berakibat himpunan tersebut bebas linear. Sebaliknya, jika determinannya bernilai nol, maka sistem persamaan $\text{(1)}$ memiliki solusi non trivial ($k_1$, $k_2$, dan $k_3$ tidak semuanya bernilai nol), yang berarti himpunan tersebut bergantung linear. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persaman tersebut, misalnya menggunakan eliminasi Gauss.

Karena matriks koefisien dari sistem persamaan $\text{(1)}$ merupakan matriks persegi, maka kita bisa menentukan apakah S bebas linear dengan melihat nilai determinannya. Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah$A= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\end{array} \right]$

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.$\begin{aligned} \text{det}(A) &= 1 \cdot 0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 1 \cdot 1 \\ &= 0 + 2 + 2-0-1-3 \\ &= 0 \end{aligned}$Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S bergantung linear.

Alternatif

Kita akan menentukan solusi dari sistem persamaan $\text{(1)}$. Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah$\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end{array} \right]$

Kita akan mengubah matriks di atas ke dalam bentuk eselon baris. Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua, dan (-2) kali baris pertama ke baris ketiga.$\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{array} \right]$Kalikan baris kedua dengan (-1).$\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{array} \right]$Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.$\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$Diperoleh$\begin{aligned} k_1 + k_2 + 2k_3 &= 0 \\ k_2 + k_3 &= 0 \end{aligned}$yang dapat ditulis sebagai$\begin{aligned} k_1 &= -k_2-2k_3 \\ k_2 &= -k_3 \end{aligned}$

Solusi sistem persamaan di atas adalah$\begin{aligned} k_3 &= t \\ k_2 &= -k_3 = -t \\ k_1 &= -k_2-2k_3 = -(-t)-2t=-t \end{aligned}$dengan t merupakan parameter.

Sistem persamaan tersebut memiliki solusi non trivial, misalnya $k_1=-1$, $k_2=-1$, dan $k_3=1$ (untuk $t=1$). Dengan demikian, himpunan S bergantung linear.